Démonstration du théorème de la division euclidienne

Théorème

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^\ast\) .
Il existe un unique couple d’entiers relatifs \((q;r)\) tel que \(a=bq+r\) et \(0 \leqslant r.

Démonstration

On admet que toute partie non vide de \(\mathbb{N}\) possède un plus petit élément.

1. Démonstration de l'existence du couple \(\boldsymbol {(q;r)}\)

On doit montrer qu'il existe un couple d'entiers \((q;r)\) tel que \(a=bq+r\) et \(0 \leqslant r < b\) .

Cas 1 : \(\boldsymbol{0 \leqslant a < b}\)  

On peut prendre \(q=0\) et \(r=a\) , car \(a=b \times 0+a\) avec \(0 \leqslant a , donc le couple  \((0;a)\) convient.

Cas 2 : \(\boldsymbol{a \geqslant b > 0}\)  

Soit  \(E\) l'ensemble des multiples de  \(b\) strictement supérieurs à  \(a\) : c'est une partie de \(\mathbb{N}\) .
Comme \(b>0\) est un entier, on en déduit que \(b \geqslant 1\) . Par conséquent : \((a+1)b \geqslant a+1>a\) .
Ainsi, \((a+1)b\) est un multiple de \(b\) strictement supérieur à \(a\) , donc \((a+1)b \in E\) et \(E \neq \varnothing\) .

D'après la propriété admise, l'ensemble  \(E\) possède un plus petit élément \(m\) . Par définition de  \(m\) :

• \(m \in E\)  ;
  
• il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(m=kb\) ;
  
• \(m-b \notin E\)  (sinon  \(m\) ne serait pas le plus petit élément de \(E\) , car \(m-b).
  On a donc, par définition de  \(E\) :
  

\(\begin{align*} m-b \leqslant a < m & \ \ \Longleftrightarrow \ \ kb-b \leqslant a < kb \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 0 \leqslant a-kb+b < b \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ 0 \leqslant a-(k-1)b < b. \end{align*}\)  
On pose \(q=k-1\) et \(r=a-(k-1)b\) .
On a donc \(0 \leqslant r < b\) et \(r=a-qb\) , c'est-à-dire \(a=bq+r\) .
Le couple \((q;r)\)  convient.

Cas 3 : \(\boldsymbol{a<0 

Comme \(-a>0\) , on a \(\) \(0<-a ou  \(0 et on peut utiliser les cas 1 ou 2 : il existe un couple d'entiers  \((q';r')\)  avec  \(0 \leqslant r' < b\)  tels que  \(-a=bq'+r'\) . 
On a donc \(a=-bq'-r'\) .